Компьютерная алгебра в программе Mathematica 4

         

Основные понятия линейной алгебры



Основные понятия линейной алгебры

Массивы, в основном в виде векторов и матриц, широко применяются при решении задач линейной алгебры. Прежде чем перейти к рассмотрению возможностей Mathematica в части решения таких задач, рассмотрим краткие определения, относящиеся к линейной алгебре.

Матрица — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и п столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).

Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов п. Пример квадратной матрицы размером 3x3:

1 2  3

4  5  6

7  8  9

Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.

Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементов равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размером 4x4: 

    1 0 0 0
    0 1 0 0
E = 0 0 1 0
    0 0 0 1
Транспонированная матрица — квадратная матрица, у которой столбцы и строки меняются местами. Приведем простой пример.

Исходная матрица:

    a b c
A = d e f
    i k l
Транспонированная матрица:

    a d i
А т = b e k
    c f l
Обратная матрица — это матрица М -1 , которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.

Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули.

Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы А., матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:

 

    A b c
А = d E f
    i k L
Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы d и k) и наддиагоналей (элементы b к f).

Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.

След матрицы — сумма диагональных элементов квадратной матрицы. Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением п элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:

detА = Сумма a1j(-1)j+1M1<j>

где M <J> — определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-то столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена.

Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени п (п — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М° = Е, М 1 = М, М 2 = = М*М,..., Мn = М n-1 -М.

Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р 2 = Р.

Инволютивная матрица — матрица, отвечающая условию I 2 = Е.

Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т = А.

Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т = -А.

Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию А т = А- 1 .

Комплексно-сопряженная матрица — матрица А , полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные.

Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию А = А .

Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х е V n , х не равно 0, удовлетворяющий уравнению Ах = gx, где g — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.

Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена — |А - g Е|.

Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена.

Норма — обобщенное понятие абсолютной величины числа. Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина. Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||). I-норма матрицы А — число

Матричная форма записи системы линейных уравнений — выражение А-Х = В, где А — матрица коэффициентов системы, X — вектор неизвестных, и В — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — X = А -1 В, где А- 1 — обратная матрица.









Содержание раздела