Функции Бесселя
Функции Бесселя
Функции Бесселя, являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений вида z
2
y" + zy'+ (z
2
- п
2
)у = 0, широко используются в анализе и моделировании волновых процессов. В системе Mathematica к этому классу относятся следующие функции:
-
Bessell[n, z] — модифицированная функция Бесселя первого рода I(n, z);
-
BesselJ[n, z] — функция Бесселя первого рода J(и, z);
-
BesselK[n, z] — модифицированная функция Бесселя второго рода К(п, z);
-
BesselY[n, z] — функция Бесселя второго рода Y(n, z).
Соотношения между этими функциями хорошо известны. Следующие примеры показывают вычисление функций Бесселя.
Ввод (In)
|
Вывод (Out)
|
Bessell[0,l.] |
1.26607 |
Bessell[3,l.] |
0.0221684 |
Bessell[l,2.+3.*I] |
-1.26098 + 0.780149 I |
Bessell[2,2.+3.*I] |
1.25767 + 2.31877 I |
BesselK[2,2.+3.*I] |
-0.0915555 + 0.0798916 I |
BesselY[2,2.+3.*I] |
-2.3443 + 1.27581 I |
BesselY[2,2.+3.*I] |
|
N[BesselJ[l,0.5]] |
0.242268 |
N[BesselJ[l, 2+1*3]] |
3.78068- 0.812781 I |
Приведем также пример на вычисление производной от функции Бесселя:
D[BesselJ[l, x], (х, 2}]
1/2 (-BesselJ[l, x] +
1/2 (-BesselJ[l, x] +BesselJ[3, x]) )
Нетрудно заметить, что результат в данном случае также представлен через функции Бесселя.
В другом примере — вычислении интеграла от функции Бесселя — результат выражается через гипергеометрическую функцию:
Integrate[BesselJ[2,x],x]
1/24 x3 HypergeometricPFQ [ { 2/3 }, { 5/2,3}, -x2/4]
На рис. 6.7 показаны графики функций Бесселя Bessell и BesselJ первых четырех порядков.
Содержание раздела