Гамма- и полигамма-функции

Широко используются гамма-функция и относящиеся к ней родственные функции:

Gamma [ а ] — эйлерова гамма-функция;
Gamma [ a, z] — неполная гамма-функция;
Gamma [a, z 0, z 1 ] — обобщенная неполная гамма-функция Gamma (а, z 0) -Gamma(a,zl);
GammaRegularized[a, z] — регуляризованная неполная гамма-функция
(а,2)=Gamma(а,z)/Gamma(a);
GammaRegularized[a, z0, zl] — обобщенная неполная гамма-функция Q(a,z0)-Q(a, zl);
LogGamma [ z ] — логарифм эйлеровой гамма-функции;
Pol у Gamma [ z ] — дигамма-функция \|/(z);
Pol у Gamma [n, z] — n-я производная от дигамма-функции.

Приведем примеры вычисления этих функций.

Ввод (In)	Вывод (Out)
Gamma[l,2.+3.*I]	-0.133981- 0,.0190985 I
Gamma [0.5]	1.77245
Gaitima [1,2. , 3 . ]	0.0855482
GammaRegularized [ 1 , 2 . +3 . I , 4 . +6 . *I ]	-0.139176- 0.0366618 I
LogGamma [0.5]	0.572365
LogGarama [ 2 . +3 . * I ]	-2.09285 + 2.3024 I
PolyGamma[l]	-EulerGamma
PolyGamma [ 1 . ]	-0.577216
PolyGarama [2 . +3 . *I]	1.20798 + 1.10413 I

Как видно из этих примеров, данный класс функций (как и многие другие) определен в общем случае для комплексного значения аргумента.

На рис. 6.5 представлены графики эйлеровой гамма-функции и неполной гамма-функции при вещественном аргументе. Поведение эйлеровой гамма-функции довольно сложно, особенно при отрицательных значениях аргумента — наблюдаются характерные разрывы функции с ее уходом в положительную и отрицательную бесконечность.

Содержание раздела